Занимательная теория вероятностей или сколько нужно двигателей?

[lozga.livejournal.com]

В обсуждении проекта "большого глупого носителя" OTRAG, состоящего из пакета простых ракет, неоднократно поднимался вопрос надёжности такого количества двигателей. Вспоминалась печальная история советской сверхтяжёлой ракеты Н-1, у которой на первой ступени стояло 30 двигателей, и которая ни разу за четыре полёта не долетела до конца её работы. В комментарии рассказать про теорию вероятностей и расчёт надёжности места нет, поэтому предлагаю вашему вниманию занимательный рассказ о количестве двигателей, надёжности, комбинаторике и теории вероятностей.

Задача первая, ознакомительная

Для начала рассмотрим простой пример. Представим себе, что у нас есть ракета. Мы можем поставить на неё один мощный двигатель или четыре средних двигателя. У всех двигателей надёжность 0,9. То есть, если мы 100 раз запускали эти двигатели в полёт, они работали нормально в ~90 случаях. В каком случае у нашей ракеты будет выше надёжность - на мощном двигателе или на средних?
Полёт ракеты с одним мощным двигателем будет, очевидно, успешен с вероятностью 0,9.
Если для успешного полёта ракеты нужно, чтобы успешно отработали все 4 двигателя, то их надёжности надо перемножить. Т.е.

P_{успеха на средних двигателях}=0,9*0,9*0,9*0,9=0,6561

Получается, что из 100 запусков ракета на одном мощном двигателе долетит в 90 случаях, а на четырёх средних - всего в 66 случаях. Казалось бы, OTRAG с 64 блоками для вывода 1 тонны на орбиту обречён. Однако, не всё так просто. А если мы возьмём четыре двигателя с такой же надёжностью, но такой тягой, что для успешного выведения на орбиту хватит трёх двигателей из четырёх? Как рассчитать надёжность в этом случае?
В этом случае вероятность успешного полёта будет рассчитываться следующим образом:
Во-первых, с вероятностью 0,9⁴=0,6561 все четыре двигателя отработают нормально.
Событие "этот двигатель вышел из строя, а остальные отработали нормально" имеет вероятность 0,1*0,9³. Поскольку всего двигателей 4, нужно умножить вероятность этого события на 4:
4*0,1*0,9³=0,2916
События "все двигатели отработали нормально" и "один двигатель вышел из строя" не могут произойти одновременно и входят в полную группу возможных исходов, поэтому мы можем их сложить для подсчёта вероятности успешного исхода:

P_{успеха на средних двигателях с возможностью одного отказа}=0,6561+0,2916=0,9477

Вот так вот, один избыточный двигатель сделал нашу ракету гораздо надёжней. Продолжим наши расчеты дальше. А что, если наши "средние" двигатели стали настолько мощными, что даже в случае двух отказов ракета успешно выйдет на орбиту?
Вероятность события "все двигатели отработали успешно" нам известна - 0,6561.
Вероятность события "отказал один двигатель" тоже известна - 0,2916.
Найдем вероятность события "отказали два двигателя". Вероятность события "отказали этот и этот двигатели, а остальные отработали нормально" равна 0,1²*0,9². Но сколькими способами можно выбрать два двигателя из четырех?

Число сочетаний C_n^k - читается как "C из n по k" - это количество способов, которым можно выбрать k элементов из множества n элементов, если элементы не возвращаются обратно после выбора и их порядок не имеет значения. Формула расчёта:

Нам нужно выбрать два двигателя из четырёх, поэтому C₄²=4!/(2!(4-2)!)=(1*2*3*4)/((1*2)*(1*2)=24/4=6.
Отсюда следует, что вероятность события "отказали два двигателя" равна 6*0,1²*0,9²=0,0486, и

P_{успеха на средних двигателях, допускающих до двух отказов}=0,6561+0,2916+0,0486=0,9963

Если приглядеться, получается достаточно простая закономерность:

P_{все двигатели отработали успешно}=C₄⁰*0,1⁰*0,9⁴=0,6561
P_{отказал один двигатель}=C₄¹*0,1¹*0,9³=0,2916
P_{отказали два двигателя}=C₄²*0,1²*0,9²=0,0486
P_{отказали три двигателя}=C₄³*0,1³*0,9¹=0,0036
P_{отказали все четыре двигателя}=C₄⁴*0,1⁴*0,9⁰=0,0001

Как и положено для полной группы событий, сумма вероятностей дает 1.

Вывод: Зная надёжность компонентов, мы можем рассчитать, сколько резервных элементов обеспечат нам требуемую надёжность.

Надёжность OTRAG

Для начала, попробуем рассчитать, была ли заранее заложена ненадёжность блоков в виде резервных CRPU в ракете? Известно, что для вывода одной тонны на орбиту предлагалось использовать три ступени - из 48, 12 и 4 блоков. Взяв данные по массе и удельному импульсу, посчитаем запас характеристической скорости для полезной нагрузки в одну тонну по формуле Циолковского:

dV_{третьей ступени}=2910 м/с*ln((1 т ПН+4*1,5 т)/(1 т ПН + 4*0,15 т))=4,3 км/с
dV_{второй ступени}=2910 м/с*ln((7 т ПН и третьей ступени+12*1,5 т)/(7 т + 12*0,15 т))=3 км/с
dV_{первой ступени}=2646 м/с*ln((25 т ПН, второй и третьей ступеней+48*1,5 т)/(25 т + 48*0,15 т))=2,9 км/с
Сумма: 10,2 км/с

Характеристическая скорость в диапазоне 9,3-10 км/с обычна и означает, что запаса для резервирования скорее всего не было. Теперь попробуем рассчитать, сколько дополнительных блоков нам потребуется для получения высоконадёжной ракеты. Начальные условия:

1. Известно, что надёжность OTRAG по испытаниям была 0,9355


2. Необходимо спроектировать ракету с надежностью блоков не ниже 0,9


3. Суммарный запас характеристической скорости должен быть не меньше, чем у исходной ракеты


4. Отказом ступени будем считать незапуск/разрушение двигателя при включении с условно мгновенным стравливанием компонентов. Сценарий, в котором нужно тащить на орбиту отказавший блок весом 1,5 тонны с топливом слишком пессимистичный.


5. Дополнительной сложностью будет необходимость стабилизации ракеты. Для простоты будем считать, что одновременно с отказавшим блоком выключается второй блок с противоположной стороны, а его компоненты условно мгновенно сливаются.

Третья ступень
С третьей ступенью самая большая сложность. Всего 4 блока не допускают возможности выключения хотя бы одного из них при сохранении сколько-нибудь адекватного запаса характеристической скорости.
Четыре блока надёжностью 0,9355 без резервирования имеют надёжность 0,9355⁴=0,77. Мало. Добавим ещё два блока. Вероятность успеха шестиблоковой ступени с возможностью отказа одного блока составит 0,9355⁶+6*0,0645*0,9355⁵=0,9475. С точки зрения надёжности шести блоков достаточно.
Рассчитаем запас характеристической скорости новой ступени для случая отказа одного блока и выключения второго для симметрии тяги. Расчет в WolframAlpha дает 3,9 км/с. Попробуем добавить седьмой блок:
Запас характеристической скорости: 4,24 км/с
Надёжность семиблоковой ступени с возможностью отказа одного блока: 0,93.
В реальности отказ блока далеко не обязательно произойдёт на первой секунде полёта, поэтому я выберу оптимистичный вариант шестиблоковой третьей ступени.

Вторая ступень
Поскольку у нас четыре блока превратились в 6, необходимо пересчитать количество блоков на второй ступени, которые дали бы такой же запас характеристической скорости. Масса третьей ступени+ПН выросла с 7 то 10 тонн, методом подбора определяем, что нам необходимо не меньше 17 блоков для такого же запаса delta-V. Возьмем 18 блоков для симметрии конструкции.
Сколько блоков мы можем позволить себе потерять для случая 18-блоковой ступени?
Допустим один отказ, надежность: 0,67
Допустимы два отказа, надежность: 0,89
У большой системы из многих блоков есть интересная особенность. Отказы могут произойти на разных сторонах ступени и компенсировать тягу самостоятельно, без необходимости выключать дополнительные блоки. Разная глубина отказавших блоков может потребовать меньшего количества выключенных блоков для компенсации. Только если нам совсем не повезёт, отключатся два соседних блока на краю ступени, и нам потребуется выключать два противоположных блока. Расчёт надёжности в этом случае - это отдельный сложный процесс, я для простоты буду считать необходимое количество выключенных для компенсации блоков как половину допустимых отказавших. Проще говоря, ставим 20 блоков на вторую ступень. С отказом двух блоков и выключением одного блока на компенсацию нам примерно хватит запаса характеристической скорости.

Первая ступень
Вторая и третья ступень с ПН выросли с 25 т до 40. Следовательно, для того, чтобы разогнать их на 2,9 км/с нам потребуется целых 76 блоков.

В случае, когда у нас есть много независимых двигателей, мы можем посчитать наиболее вероятное количество отказов по формуле для биномиального распределения:
n*p-q<=k<=n*p+p, где
n - количество испытаний (в данном случае, блоков)
p - вероятность нужного исхода (в данном случае успеха)
q = 1 - p

Для нашего случая второй ступени с 76 двигателями получим:
76*0,9355-0,0645<=k<=76*0,9355+0,9355
71<=k<=72
Следовательно, наиболее вероятен отказ 4-5 блоков.

Посчитаем надежность:
Допустим один отказ: 0,039
Допустимы до двух отказов: 0,12
Допустимы до трех отказов: 0,27
Допустимы до четырёх отказов: 0,45
Допустимы до пяти отказов: 0,63
Допустимы до шести отказов: 0,78
Допустимы до семи отказов: 0,88

Семь отказов, три блока на компенсацию (консервативный вариант). Методом подбора получаем, что нам потребуется ступень с 90 блоками.

Выводы

Третья ступень. Было 4 блока, стало 6.
Вторая ступень. Было 12 блоков, стало 20.
Первая ступень. Было 48 блоков, стало 90.
Всего было 64 блока, стало 116.

Обратите внимание, что при расчётах использовался очень консервативный подход. Во-первых, не учитывался тот факт, что отказ блока может произойти не при запуске, а спустя какое-то время работы, когда блок уже поучаствовал в разгоне ракеты. Во-вторых, использовалась реальная надёжность испытательных пусков. Простота и невысокие параметры нагрузки конструкции означают, что надёжность блока несложно повысить. В-третьих, цифровая система управления способна, используя терминальное наведение, компенсировать недобор характеристической скорости одной ступени запасом других ступеней.


Двигатель блока OTRAG. Простота поражает...

Что же касается печальной истории советской Н-1, её погубили не 30 двигателей, а тот факт, что первая ступень не тестировалась в сборе на стенде, а двигатели к ней не тестировались перед установкой. Конструкция двигателей НК-15 не позволяла многократный запуск. Партии двигателей тестировались выборочно (2 из 6), что не позволяло гарантированно не допустить бракованный двигатель на ракету. Отказ двигателя имел характер взрыва, что повреждало кабели, трубопроводы и соседние двигатели, делая дальнейший полёт невозможным.
Кстати, на ракетах-носителях семейства "Союз" на старте включаются пять двигателей с 32 камерами сгорания, и это не мешает "семёркам" быть очень надежными ракетами.

Comments

[frs-vetlana.livejournal.com]

Ну Ок. Поставим резервные блоки. Допустим, сколько-то из них отказало. Пусть где-то в середине работы ступени. Значит, дальше тащится наполовину неизрасходованное топливо в них и сами корпуса блоков и неработающие двигатели. При этом во все блоки надо заливать топливо с учетом выхода из строя какого-то количества (какого, кстати?) блоков и разгона ракеты на оставшихся. Ну допустим, залили на 4 отказавших блока. А отказали 2. Значит какое-то топливо банально будет лишним. А если отработают все блоки? Сколько топлива "перелили"? И все это может весьма лихо отнять массу у ПГ.

[fan-d-or.livejournal.com]

А вас не расстраивает, когда вы залив в свой автомобиль полный бак, возвращаетесь домой, истратив только половину?

Зачёт ведётся по конечному результату - а избыточность приводит к небольшому удорожанию, которое заведомо покрывает убытки от срыва миссии.

В конце концов, не случайно принято часть расходов на пуски перекладывать в страховку.
В данном случае доля избыточных расходов может быть меньшей, чем расходы на финансовую страховку...

[frs-vetlana.livejournal.com]

Не расстраивает. Потому что я на этом бензине потом еще куда-то смотаюсь. А вот если бы приходилось после каждой поездки остатки выливать - это было бы по меньшей мере неприятно.
Лучше представьте, что Вы вместо штатной запаски все время еще две возите в салоне.

[phis.livejournal.com]

нормальный в целом кейс, смотря куда ехать

[suvorow-.livejournal.com]

в автомобиль - хорошо, а вот в самолёт - расстраивает :) ибо только в очень специальных случаях оказывается выгодно возить топливо туда-сюда. Гораздо выгоднее топлива заправить только на полёт, а остальное догрузить платной нагрузкой (payload по-английски потому и PAY). А в ракете - расстраивает ещё больше.

[fan-d-or.livejournal.com]

А это ничего, что в любые РН топливо заливается с запасиком - и к моменту выключения двигателей в баках болтается его ещё немало?

ХИНТ: главным критерием является стоимость пуска - и со всеми перерасходами и запасиками на всякий пожарный.
А то, куда и на какие именно запасы откладывает конструктор, выбирая конкретную концепцию - дело десятое, если выбранная концепция оказывается более дешёвой, чем альтарнативные...

[suvorow-.livejournal.com]

этот "запасик" стремятся уменьшить всеми силами, но уменьшить его до нуля очень сложно - велик риск, что один компонент кончится раньше другого, и движок тогда может взорваться. Но в современных РН невырабатываемые остатки меньше полпроцента.

[fan-d-or.livejournal.com]

Взрыв из-за окончания одного из компонентов смеси?
Но, чёрт побери, как?! (с)...

На самом же деле (с) запас создаётся лишь для формирования точной орбиты при конечной точности первичной информации о стартовых массах РН, ПН и реального импульса конкретного экземпляра двигательной установки.

Потому заливается с запасом и отсекается по достижению заданной скорости...

[frs-vetlana.livejournal.com]

Кстати да. Интересно, здесь что-то типа СОБиСа есть?

[jr0.livejournal.com]

Здесь есть здравый смысл. Топливо отказавшего модуля не предполагалось тащить до разделения ступеней, а топлива много. Это разрушает расчет автора статьи.

[frs-vetlana.livejournal.com]

А если все блоки отработали штатно? Сколько неизрасходованного топлива в них останется.

[jr0.livejournal.com]

Чаще всего первая ступень расходует все доступное топливо, а верхние ступени дорабатывают до целевой орбиты.

Выведение нагрузки не детерминировано, есть запасы.

Вопрос хороший.

[frs-vetlana.livejournal.com]

Если не изменяет память, так обычно происходит на твердотопливных ракетах. Первые ступени работают "на пронос", последняя отсекается по функционалу. На жидкостных все-таки выключение нижних ступеней происходит при достижении заданной скорости и углов.
И кстати, родился новый вопрос. А что будет с импульсом последействия стольких двигателей и как его компенсируют?
Запасы по ПГ наверняка есть, но как догрузить ракету в полете в зависимости от остатков неизрасходованного топлива?!

[jr0.livejournal.com]

Теперь похваляются, что остатки топлива очень малы.

Даже избыток одной из составляющих используют переобогащая смесь. То есть с помощью совершенной системы управления и топливной системы. Об этом, последнем, правда, я читал как о возможности, но очень давно.

[drugoi-vladimir.livejournal.com]

А вас не расстраивает, когда вы залив в свой автомобиль полный бак, возвращаетесь домой, истратив только половину?

Посчитайте стоимость вывода полезного груза на орбиту - это и будет цена, которую надо будет заплатить за взятое про запас топливо. вики пишет про от 3000 долларов за каждый доставленный килограмм, там правда есть ещё разница в стоимости в зависимости от орбиты и повыше затолкать будет уже от 15000.

[fan-d-or.livejournal.com]

Вот и стоит оценивать концепцию по совокупному эффекту, достигаемому конкретным техническим решением, а не по произвольно выдранному из сложной и многосвязной системы частному фактору.

Для объективных суждений нужно опираться на строго проведённый анализ, а не на вкусовщинку.

Как оно окажется в конечном итоге - судить не с блогерского дивана, а с конструкторского стула...

[lozga.livejournal.com]

Я считаю наиболее вероятными отказами два - нарушение герметичности блока и отказ двигателя. В обоих случаях никто не мешает стравливать топливо. А тащить полный блок пустым грузом - это очень неэффективно, да.

[frs-vetlana.livejournal.com]

Во-первых, остается масса пустого блока(ов). Во-вторых, если предусмотрена возможность отказа некоторых блоков и стравливание топлива из них, то во всех баках должно быть залито топлива с учетом этого гипотетически стравленного. А если все блоки отработали нормально, сколько лишнего топлива останется в баках? Ведь стравить его в полете нельзя - до последней секунды работы ступени никто не знает, будет отказ каких-то блоков или нет.

[jr0.livejournal.com]

Пустой блок, все-таки, - проценты от заправленного по массе. Так что это важно. Иное дело, как стравливать? Не такая уж простая задача.

Со временем вероятность положительного исхода меняется к лучшему, очевидно. Не только топливо, но и баки и большая часть двигателей - лишние. Но мирятся.

Вообще, первая ступень и остальные должны проектироваться по-разному. Мне кажется, эта статья - годное и простое пояснение к такому утверждению.

[frs-vetlana.livejournal.com]

Проценты от заправленного, но десятки процентов от массы ПГ (вывести надо же его).
А почему первая и другие ступени должны быть разными? Все едино - бочки, не полностью заполненные жидкостью, и двигатели.

[jr0.livejournal.com]

До груза далеко. Скорее уж считать к массе ракеты без первой ступени.

Первая ступень летит в атмосфере, то есть не быстро. Но главное, ее саму никто не разгоняет. Ее совершенство надо оценивать не массой, а только ценой.

Можно применить подходы к проектированию верхних ступеней к первой. Но это часто неоправданно дорого. Хотя и не всегда.

Но зато не стоит применять подходы для первой ступени к последующим.

На деле, даже твердотопливные многоступенчатые носители имеют первую ступень по удешевленной технологии. А зачастую - украинские с советскими движками и ускорителями на твердом топливе, разработанными очень очень давно. Не бочки.

Или Союз. В нем вся мякотка в верхних ступенях, которых вынужденно много. А первая - просто та, что давно летает. Заменить ее на новую - противоречие стоимостному подходу.

[frs-vetlana.livejournal.com]

Ну сколько весит пустой блок? Какая масса ПГ? Скажем, 500 кг пустого блока, это 500 кг невыведенного ПГ. Это много, независимо от %.

Скорее уж тогда отличия в том, что первая ступень работает практически только на вертикальном участке, т.е. грубо ее главная задача - преодолеть силу притяжения. Задача следующих ступеней, работающих уже на пологом участке траектории, - разогнать ПГ. Но тут вопросы больше к двигателям. А баки... Оболочки считаются по одинаковым методикам, ну с разными исходными данными по нагрузкам, динамике и пр.

Бочки-не бочки. С одной стороны Протон, Союз, Сатурн, с другой - Ариан-5, Шаттл. Ну еще "промежуточные", изначально жидкостные, но с навешанными потом РДТТ. Все-таки твердотопливные бустеры не от хорошей жизни (двигателей).

[woodenfriend.livejournal.com]

лучше всего стравливать с помощью вспомогательного маленького двигателя, он и топливо стравит и малую утешительную тягу даст :))

[jr0.livejournal.com]

Двигатель это не только масса, но и цена. Смысл?

[woodenfriend.livejournal.com]

ваши слова похожи на правду. жаль, мои слова не были похожи на шутку.