Занимательная теория вероятностей или сколько нужно двигателей?

[lozga.livejournal.com]

В обсуждении проекта "большого глупого носителя" OTRAG, состоящего из пакета простых ракет, неоднократно поднимался вопрос надёжности такого количества двигателей. Вспоминалась печальная история советской сверхтяжёлой ракеты Н-1, у которой на первой ступени стояло 30 двигателей, и которая ни разу за четыре полёта не долетела до конца её работы. В комментарии рассказать про теорию вероятностей и расчёт надёжности места нет, поэтому предлагаю вашему вниманию занимательный рассказ о количестве двигателей, надёжности, комбинаторике и теории вероятностей.

Задача первая, ознакомительная

Для начала рассмотрим простой пример. Представим себе, что у нас есть ракета. Мы можем поставить на неё один мощный двигатель или четыре средних двигателя. У всех двигателей надёжность 0,9. То есть, если мы 100 раз запускали эти двигатели в полёт, они работали нормально в ~90 случаях. В каком случае у нашей ракеты будет выше надёжность - на мощном двигателе или на средних?
Полёт ракеты с одним мощным двигателем будет, очевидно, успешен с вероятностью 0,9.
Если для успешного полёта ракеты нужно, чтобы успешно отработали все 4 двигателя, то их надёжности надо перемножить. Т.е.

P_{успеха на средних двигателях}=0,9*0,9*0,9*0,9=0,6561

Получается, что из 100 запусков ракета на одном мощном двигателе долетит в 90 случаях, а на четырёх средних - всего в 66 случаях. Казалось бы, OTRAG с 64 блоками для вывода 1 тонны на орбиту обречён. Однако, не всё так просто. А если мы возьмём четыре двигателя с такой же надёжностью, но такой тягой, что для успешного выведения на орбиту хватит трёх двигателей из четырёх? Как рассчитать надёжность в этом случае?
В этом случае вероятность успешного полёта будет рассчитываться следующим образом:
Во-первых, с вероятностью 0,9⁴=0,6561 все четыре двигателя отработают нормально.
Событие "этот двигатель вышел из строя, а остальные отработали нормально" имеет вероятность 0,1*0,9³. Поскольку всего двигателей 4, нужно умножить вероятность этого события на 4:
4*0,1*0,9³=0,2916
События "все двигатели отработали нормально" и "один двигатель вышел из строя" не могут произойти одновременно и входят в полную группу возможных исходов, поэтому мы можем их сложить для подсчёта вероятности успешного исхода:

P_{успеха на средних двигателях с возможностью одного отказа}=0,6561+0,2916=0,9477

Вот так вот, один избыточный двигатель сделал нашу ракету гораздо надёжней. Продолжим наши расчеты дальше. А что, если наши "средние" двигатели стали настолько мощными, что даже в случае двух отказов ракета успешно выйдет на орбиту?
Вероятность события "все двигатели отработали успешно" нам известна - 0,6561.
Вероятность события "отказал один двигатель" тоже известна - 0,2916.
Найдем вероятность события "отказали два двигателя". Вероятность события "отказали этот и этот двигатели, а остальные отработали нормально" равна 0,1²*0,9². Но сколькими способами можно выбрать два двигателя из четырех?

Число сочетаний C_n^k - читается как "C из n по k" - это количество способов, которым можно выбрать k элементов из множества n элементов, если элементы не возвращаются обратно после выбора и их порядок не имеет значения. Формула расчёта:

Нам нужно выбрать два двигателя из четырёх, поэтому C₄²=4!/(2!(4-2)!)=(1*2*3*4)/((1*2)*(1*2)=24/4=6.
Отсюда следует, что вероятность события "отказали два двигателя" равна 6*0,1²*0,9²=0,0486, и

P_{успеха на средних двигателях, допускающих до двух отказов}=0,6561+0,2916+0,0486=0,9963

Если приглядеться, получается достаточно простая закономерность:

P_{все двигатели отработали успешно}=C₄⁰*0,1⁰*0,9⁴=0,6561
P_{отказал один двигатель}=C₄¹*0,1¹*0,9³=0,2916
P_{отказали два двигателя}=C₄²*0,1²*0,9²=0,0486
P_{отказали три двигателя}=C₄³*0,1³*0,9¹=0,0036
P_{отказали все четыре двигателя}=C₄⁴*0,1⁴*0,9⁰=0,0001

Как и положено для полной группы событий, сумма вероятностей дает 1.

Вывод: Зная надёжность компонентов, мы можем рассчитать, сколько резервных элементов обеспечат нам требуемую надёжность.

Надёжность OTRAG

Для начала, попробуем рассчитать, была ли заранее заложена ненадёжность блоков в виде резервных CRPU в ракете? Известно, что для вывода одной тонны на орбиту предлагалось использовать три ступени - из 48, 12 и 4 блоков. Взяв данные по массе и удельному импульсу, посчитаем запас характеристической скорости для полезной нагрузки в одну тонну по формуле Циолковского:

dV_{третьей ступени}=2910 м/с*ln((1 т ПН+4*1,5 т)/(1 т ПН + 4*0,15 т))=4,3 км/с
dV_{второй ступени}=2910 м/с*ln((7 т ПН и третьей ступени+12*1,5 т)/(7 т + 12*0,15 т))=3 км/с
dV_{первой ступени}=2646 м/с*ln((25 т ПН, второй и третьей ступеней+48*1,5 т)/(25 т + 48*0,15 т))=2,9 км/с
Сумма: 10,2 км/с

Характеристическая скорость в диапазоне 9,3-10 км/с обычна и означает, что запаса для резервирования скорее всего не было. Теперь попробуем рассчитать, сколько дополнительных блоков нам потребуется для получения высоконадёжной ракеты. Начальные условия:

1. Известно, что надёжность OTRAG по испытаниям была 0,9355


2. Необходимо спроектировать ракету с надежностью блоков не ниже 0,9


3. Суммарный запас характеристической скорости должен быть не меньше, чем у исходной ракеты


4. Отказом ступени будем считать незапуск/разрушение двигателя при включении с условно мгновенным стравливанием компонентов. Сценарий, в котором нужно тащить на орбиту отказавший блок весом 1,5 тонны с топливом слишком пессимистичный.


5. Дополнительной сложностью будет необходимость стабилизации ракеты. Для простоты будем считать, что одновременно с отказавшим блоком выключается второй блок с противоположной стороны, а его компоненты условно мгновенно сливаются.

Третья ступень
С третьей ступенью самая большая сложность. Всего 4 блока не допускают возможности выключения хотя бы одного из них при сохранении сколько-нибудь адекватного запаса характеристической скорости.
Четыре блока надёжностью 0,9355 без резервирования имеют надёжность 0,9355⁴=0,77. Мало. Добавим ещё два блока. Вероятность успеха шестиблоковой ступени с возможностью отказа одного блока составит 0,9355⁶+6*0,0645*0,9355⁵=0,9475. С точки зрения надёжности шести блоков достаточно.
Рассчитаем запас характеристической скорости новой ступени для случая отказа одного блока и выключения второго для симметрии тяги. Расчет в WolframAlpha дает 3,9 км/с. Попробуем добавить седьмой блок:
Запас характеристической скорости: 4,24 км/с
Надёжность семиблоковой ступени с возможностью отказа одного блока: 0,93.
В реальности отказ блока далеко не обязательно произойдёт на первой секунде полёта, поэтому я выберу оптимистичный вариант шестиблоковой третьей ступени.

Вторая ступень
Поскольку у нас четыре блока превратились в 6, необходимо пересчитать количество блоков на второй ступени, которые дали бы такой же запас характеристической скорости. Масса третьей ступени+ПН выросла с 7 то 10 тонн, методом подбора определяем, что нам необходимо не меньше 17 блоков для такого же запаса delta-V. Возьмем 18 блоков для симметрии конструкции.
Сколько блоков мы можем позволить себе потерять для случая 18-блоковой ступени?
Допустим один отказ, надежность: 0,67
Допустимы два отказа, надежность: 0,89
У большой системы из многих блоков есть интересная особенность. Отказы могут произойти на разных сторонах ступени и компенсировать тягу самостоятельно, без необходимости выключать дополнительные блоки. Разная глубина отказавших блоков может потребовать меньшего количества выключенных блоков для компенсации. Только если нам совсем не повезёт, отключатся два соседних блока на краю ступени, и нам потребуется выключать два противоположных блока. Расчёт надёжности в этом случае - это отдельный сложный процесс, я для простоты буду считать необходимое количество выключенных для компенсации блоков как половину допустимых отказавших. Проще говоря, ставим 20 блоков на вторую ступень. С отказом двух блоков и выключением одного блока на компенсацию нам примерно хватит запаса характеристической скорости.

Первая ступень
Вторая и третья ступень с ПН выросли с 25 т до 40. Следовательно, для того, чтобы разогнать их на 2,9 км/с нам потребуется целых 76 блоков.

В случае, когда у нас есть много независимых двигателей, мы можем посчитать наиболее вероятное количество отказов по формуле для биномиального распределения:
n*p-q<=k<=n*p+p, где
n - количество испытаний (в данном случае, блоков)
p - вероятность нужного исхода (в данном случае успеха)
q = 1 - p

Для нашего случая второй ступени с 76 двигателями получим:
76*0,9355-0,0645<=k<=76*0,9355+0,9355
71<=k<=72
Следовательно, наиболее вероятен отказ 4-5 блоков.

Посчитаем надежность:
Допустим один отказ: 0,039
Допустимы до двух отказов: 0,12
Допустимы до трех отказов: 0,27
Допустимы до четырёх отказов: 0,45
Допустимы до пяти отказов: 0,63
Допустимы до шести отказов: 0,78
Допустимы до семи отказов: 0,88

Семь отказов, три блока на компенсацию (консервативный вариант). Методом подбора получаем, что нам потребуется ступень с 90 блоками.

Выводы

Третья ступень. Было 4 блока, стало 6.
Вторая ступень. Было 12 блоков, стало 20.
Первая ступень. Было 48 блоков, стало 90.
Всего было 64 блока, стало 116.

Обратите внимание, что при расчётах использовался очень консервативный подход. Во-первых, не учитывался тот факт, что отказ блока может произойти не при запуске, а спустя какое-то время работы, когда блок уже поучаствовал в разгоне ракеты. Во-вторых, использовалась реальная надёжность испытательных пусков. Простота и невысокие параметры нагрузки конструкции означают, что надёжность блока несложно повысить. В-третьих, цифровая система управления способна, используя терминальное наведение, компенсировать недобор характеристической скорости одной ступени запасом других ступеней.


Двигатель блока OTRAG. Простота поражает...

Что же касается печальной истории советской Н-1, её погубили не 30 двигателей, а тот факт, что первая ступень не тестировалась в сборе на стенде, а двигатели к ней не тестировались перед установкой. Конструкция двигателей НК-15 не позволяла многократный запуск. Партии двигателей тестировались выборочно (2 из 6), что не позволяло гарантированно не допустить бракованный двигатель на ракету. Отказ двигателя имел характер взрыва, что повреждало кабели, трубопроводы и соседние двигатели, делая дальнейший полёт невозможным.
Кстати, на ракетах-носителях семейства "Союз" на старте включаются пять двигателей с 32 камерами сгорания, и это не мешает "семёркам" быть очень надежными ракетами.

Comments

[jr0.livejournal.com]

1. Я пока обсуждаю только первую ступень. "Тупая" вторая ступень - уже довольно странно. Хотя и бывает у твердотопливных ракет с избытком тяги и числом ступеней до пяти.

2. Да, вторая ступень должна работать без отказов, полагаю. Хотя запускается сложно и в непростых условиях.

3. Falcon 9, спроектированный с помощью стоимостного анализа, имеет объединенные баки на девять движков. Ту вы, полагаю, правы, что нужна связь.

Очень большие баки с большим зеркалом чреваты всякими колебаниями поверхности. Потому, полагаю, фон Браун большие баки не любил, посмотрите Saturn-1. Да и устойчивость малого бака без набора обеспечить проще.

4. Французский ЖРД на водороде, что СССР далось не сразу. Сравните с РД0120. На Ariane-4 стоял ЖРД на вонючке, тягой до 80 тс. Особо мощный ЖРД не слишком-то и нужен, SpaceX обошлись, как видим. Твердотопливники - дешево и надежно.

5. SLS и Ares - примеры современных ракет такого класса. К ним примыкает Челнок. Ангара - ракета другого класса. К тому же, российская, а я предупреждал. То есть Ангара - страшно дорогая ракета.

Другой пример дорогой ракеты: Delta Heavy. Можно смотреть, чем она отличается от Falcon Heavy.

[frs-vetlana.livejournal.com]

Бывает и у твердотопливных. Скажем у РТ-1. Но там хоть огневая связь в связке РДТТ была. Впрочем, это особо не помогло... А на РТ-2 и дальше уже как-то без связок двигателей обходились.

Ну так можно сказать, что фон Браун и несущие баки не любил, посмотрев на Фау-2. Однако за первым Сатурном был же пятый с большими баками, где шпангоуты были и гасителями колебаний.

РД-0120 мощнее. А Викинг до РД-107 не дотягивает. Твердотопливники имеют массу недостатков. Как выровнять тягу двух противоположных двигателей? Как вообще оперативно управлять тягой? Плюс к этому энергетика меньше, чем у ЖРД. Ну и экологическому фактору все больше значения уделяется. У того же Шаттла при старте оксид алюминия тоннами сыпался с неба.

SLS и Ares не летают. Челнок если сравнивать, то с Энергией, но они уже все. А стоимость вывода кг ПГ для Ангары-А5 (заявленная) раза в 1.5 меньше, чем у Фалкон 9. В Ангаре в общем-то не все так ужасно плохо.

[jr0.livejournal.com]

1. РТ-1 уникальна.

2. Фон Браун любил быстрые работоспособные решения. И явно - увеличить масштаб, чтобы посмотреть, что это даст нового. Есть способы увеличения: подобием и размножением. Причем оба способа дают новое качество, если делать больше, еще больше.

Не все удачные решения - фон Брауна. У него удачная методология - что важнее. А технологии американские - что еще важнее. Я тут ищу общее в поздних работах фон Брауна, где о его авторстве конкретных решений известно: ORTAG и Saturn-1.

3. Как известно, тяга легко набирается числом движков. Да и следов того, что европейцы страдают от малой тяги своих ЖРД нет. Они этим наслаждаются. Твердотопливники дотягивают.

Как видим, разнотяг никого не беспокоит, раз твердотопливники очень далеко от оси. Управлять тягой не надо, нужнее закономерное изменение тяги, что обеспечивает форма канала горения, как известно. Быстро достигается максимум тяги и медленно почти до нуля.

Удельный импульс твердотопливников не хуже многих ЖРД первой ступени. Да и на второй, третьей и в разгоннике твердое топливо применяется. Оксид алюминия - безвредный песочек. Пусть сыпется.

4. Тяжелые носители нужны не каждое десятилетие. Их строительство связано с задачами.

5. На разработку Ангары и начало ее испытаний потрачены многие миллиарды долларов. Конца края тратам не видно. Все ужасно.

[frs-vetlana.livejournal.com]

Что любил фон Браун - мне неведомо. Просто вижу, что были удачные решения и нет. После Сатурна-1, сколько мне помнится, таких конструкций ступеней не было. Так что можно сказать, что она была уникальна как РТ-1.

Страдают ли европейцы тоже неизвестно, а вот американцы на тяжелых версиях ракет планируют использовать не твердотопливные ускорители, а жидкостные УРМ.

Думаю, разнотяг беспокоит. Но эту проблему как-то решают. Например вместе с ускорителями включаются двигатели 1 ступени, управляя ими, вполне возможно, и его и компенсируют.

Удельный импульс шаттловских ускорителей меньше удельного импульса энергиевских РД-120, ариановские ускорители по уд. импульсу хуже ангаровских и протоновских двигателей, но, конечно, лучше РД-107.

[jr0.livejournal.com]

1. Любовь фон Брауна познаваема. После Saturn-1 он делал мало. Вы правы, видимо, что Saturn-1 своеобразен. Однако своеобразие РТ-1 иной природы.

2. Что именно неизвестно об европейцах? Вообще-то, до нашествия Протонов Arian держал рынок. Но успех Протон и Зенит временный. Иное дело Союз.

3. Под "тяжелыми версиями" вы, очевидно, понимаете ровно две конструкции - Delta Heavy и Falxon Heavy. Однако это не единственные тяжелые носители на западе.

4. То есть разнотяг терпим. Я об этом. Иначе конструкция была бы иной.

5. Удельный импульс первой ступени не волнует. А цена - очень. Сколько раз написать, чтобы вы спорили не с собой, а с моим утверждением?

[frs-vetlana.livejournal.com]

На РТ-1 связку сделали потому что не умели делать заряды большого диаметра. Может и Браун не смог рассчитать ну скажем колебания жидкости в большом баке и сделал Сатурн-1 именно таким? Потом научился и сделал большие баки на Сатурне-5. В голову конструктора не заглянешь.

Мы не знаем, хотят ли европейцы делать мощные ЖРД. Судя по эволюции Арианов в общем и разработке новых Вулканов в частности, - хотят.

Хорошо. Еще какие? Атлас? Тоже хотят УРМы по бокам ставить в тяжелой версии.

Выкрутиться можно из многих ситуаций. Оптимальное ли это решение?

Ну Вы же сами говорили: "Удельный импульс твердотопливников не хуже многих ЖРД первой ступени. " Оказывается хуже. Можно цифры привести. Как будете оценивать стоимость первой ступени? Где-то есть данные отдельно по ступеням по ракетам? Или умозрительно, де РДТТ дешевле жидкостных ступеней?
Вот кстати нашлось. Новый ТТУ Шаттла в 1975 году стоил $4.1 млн. РД-171 в 2010 стоил $13,5 млн. Ну пусть еще 10% - баки и все остальное, ну топливо тоже около того. Итого 16, ну пусть 17 млн. Индекс потребительских цен в США с 1975 по 2010 вырос примерно в 4,5 раза. Значит ТТУ стоил бы чуть больше 18 млн. Практически одно и то же.

[jr0.livejournal.com]

1. РТ-1 делали, потому что умели сделать заряды огромной толщины из баллиститного пороха. Повторить не решается никто.

2. Saturn-5 - разработка многих американских компаний. F-1 впервые испытан в 1957. Баки Saturn-5 не фон Браун предложил, спроектировал, сделал. Некоторые решения вызывали прямые его возражения. Но, в итоге, все решения им одобрены.

3. Судя по тому, что европейцы не разрабатывали, не разрабатывают и не покупают ЖРД мощнее - не хотят. Только то, что добавляет недостающее твердотопливникам.

Vulcain-2 c большим временем работы и лучшими показателями в пустоте. Дополнительную тяга - двумя самыми большими несегментированными твердотопливниками.

4. STS, Aries, SLS. Atlas Heavy - не бывает. Имею ввиду также H-IIB, H-III, Ariane-5 и -6 в классе Delta Heavy.

5. Если можно выкрутиться, надо выкручиваться. Потому что разработка дорога. На Ангару с советскими заделами потратили миллиарды. Толку? О стоимости неудач Протона тоже можно поговорить.

6. О стоимости судить трудно. Есть общие соображения о простоте и технологичности, стоимости испытаний и разработки. И небанального: РДТТ не прожигают, так идут; не перезаправляют, когда отмена пуска.

Цена пуска Зенита была бы доводом, если бы запускающие не так часто банкротились, а развивались бы. О Falcon писать можно смело.

РД-180 - половинка РД-170 - сейчас под $20 млн. Энергомаш не прибыльное предприятие. БОльшая часть НИОКР проведена в СССР и списана. Настоящую цену можно было бы выяснить, если бы Энергомаш разработал новый двигатель. Не половинки с четвертинками.

Сравните со SpaceX: создали и существенно совершенствуют Merlin 1 и разрабатывают Raptor, оставаясь в прибыли. Имея рыночную цену услуг и развивающееся производство.

[frs-vetlana.livejournal.com]

И не умели делать смесевое топливо. И на РТ-1 вовсе не огромная толщина заряда. На РТ-2, вставшей на вооружение, диаметр больше. И не баллиститный порох, а уже смесевое топливо.

Опять-таки мы не в курсе, почему европейцы делают мощные ТТУ. Вулкан же все-таки пытаются модернизировать, но возможно больше ничего не получается, а новый двигатель пока не по силам.

STS можно сравнивать только с Энергией. Арес закрыта, SLS не взлетела еще ни в какой версии, может и не взлетит, - всякое бывает. У Атласа летают более легкие версии, почему его тяжелая версия - прожект, а SLS - проект? H-III и Ариан-6 - в компанию к SLS, может сделают - может нет. H-IIB - ну может быть, но запусков все-таки маловато. Вот и остаются Протон, Дельта, Атлас, Фалкон, Ариан-5.
Ангара - постольку поскольку, уж очень амбициозные на нее планы.

Мне попадались цифры в 11-15 млн. Кроме того, где-то была информация, что сейчас цены выросли в 3 раза по сравнению с 2009 годом. Т.е. даже, приняв цену в 20 млн и разделив на 3, ну плюс/минус получим цену РД-171 в 2010-м

При чем здесь Мерлин? Речь вроде бы шла о цене первых ступеней. По хорошему надо сравнивать одинаковые носители. Шаттл и Энергия по-моему вполне подходят для сравнения. Сравниваем, получается, что твердотопливные ускорители не дешевле жидкостных 1 ступеней.

[jr0.livejournal.com]

1. На топливо и намек. Умели от не умели отстоит на пару лет. Не надо было умствовать, а, как повелось, списывать у американцев.

2. Европейцы твердотопливники хотят и делают какой захотят: сегментный - пожалуйста, мотать - не вопрос. На верхние ступени нужны ЖРД? Не гнушаются купить на Украине после конкурса предложений.

3. Все можно сравнивать со всем, но с умом и доводами. Энергия, впрочем, сравнима с Ares-1 - та еще "удача". SLS обязательно полетит, на нее деньги выделены.

4. Тяжелые Atlas-5 есть, они с ускорителями на твердом топливе. Главное, был расчет на прежние цены за РД-180, которые счетная палата признала половиной прямых расходов. Но и так Atlas 551 выводит почти 8.7 т на ГПО, что, скажем, Falcon 9 v1.1 явно не по силам - 5.5 т предел.

H-IIB - продолжение H-II. Что непонятного? У вас как-то странно "остаются".

5. Планы Ангары пока подкреплены только огромными тратами в прошлом. Пусковые не строят. Может сомневаются? Новый космодром под Союз. Это не SLS, а значительно непредсказуемее.

6. Оценки цены РД-180 очень разные. Что подтверждает простое: это назначенная цена без весомого обоснования. Когда-то это была попытка завоевать рынок. Теперь же смысл исчез. Впрочем - Antares продолжит использовать дорогостоящий советский задел и труд за гроши.

7. STS и Энергию как сравниваете? Число модулей посчитали? Вообще, STS - испытанный для полетов людей космический корабль. Как с Энергией сравнить вашим способом именно цены?

Сравнивайте Зенит и Falcon. Или Зенит и Atlas. Число ступеней не забудьте. Или Союз и Delta II, хотя у этих двух удачнейших проектов ЖРД первой ступени одного класса.